[수능특강 독서 과학] 칸토어와 대각선 논법

개인적으로 올해 수능특강 독서 수학 지문 중 저평가 되었다고 생각하는 지문 중 하나입니다. 

칸토어와 대각선 논법. 

아주 흥미롭기도 하고, 수학사적으로도 꽤 중요한 지점이니 다뤄보도록 하겠습니다. 

 

앞으로의 인생에 얕고 넓은 지식이 도움이 되기를!

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*본 포스팅은 수특에 쓰인 개념을 설명하는 포스팅으로, 지문 분석이 아닙니다. (공부에 도움이 안 될수도 있다는 뜻) 

*시간이 많이 남거나 개념이 정말 궁금한 독자들만 읽기를 바랍니다. 

*수학 이론자체가 부족한 문과 친구들에게는 어쩌면 수능 비문학에 도움이 될 수도 있습니다. 

 

 

1. 무한의 수학자, 칸토어

칸토어의 묘비

"수학의 본질은 그 자유로움에 있다" 

묘비명부터 범상치 않은 이 수학자, Georg Cantor (게오르크 칸토어)는 무한이라는 개념의 선구자입니다. 

 

19세기에는 수학에서 무한에 대한 연구가 활발히 이루어지지 않았고, 

칸토어는 집합론을 창시하며 처음으로 무한에도 크기가 있다고 주장합니다. 

 

그리고 모든 선구자들이 그러하듯 칸토어는 학계에서 많은 수학자들에게 비판을 받습니다. 

그럼에도 칸토어는 꿋꿋이 연구를 이어 나가 우리가 오늘 다룰 아름다운 논법인 '대각선 논법'을 발표합니다. 

 

 

2. 대각선 논법의 기본 가정 

대각선 논법은 실수와 정수가 일대일 대응을 이루지 못함을 증명합니다. 

이는 결국 두 무한한 집합, 실수와 정수 집합 중 실수 집합이 더 크다는 것을 의미합니다. 

무한 A와 무한 B 사이에도 크기의 차이가 존재함을 증명하는 것이죠. 

 

증명을 시작해볼까요? 

특정한 사실을 증명할 때 우리는 간접 증명법을 사용하기도 합니다. 

'A가 아니다'라는 사실을 증명하기 위해 'A가 맞다'라는 것을 가정한 뒤, 모순을 찾아내는 것이죠. 

 

그렇다면 저희는 0과 1사이의 실수가 정수 집합과 크기가 같다고 가정해봅시다. 

그 전에 선행되어야 하는 질문이 하나 있네요. 

정수 집합은 양수 집합과 크기가 같은가. 

 

 

3. 정수 집합과 양수 집합 크기 비교

두 집합이 일대일 대응이 될 때, 우리는 두 집합의 크기가 같다고 말할 수 있습니다. 

정수 집합은 양수 집합, 음수집합, 그리고 0의 합이기 때문에

언뜻 보아서는 당연히 정수 집합이 양수 집합보다 크기가 커보이죠. 

 

하지만 짜잔. 아니랍니다!

정수 크기 = 자연수 크기

 

1을 0에 대응시키고, 이후부터 음수와 양수를 번갈아 대응시키면 자연수에 모든 정수를 대응시킬 수 있습니다. 

음수는 * -2, 양수는 2n + 1 에 대응되죠. 

 

자, 그렇다면 거의 다 왔습니다. 

자연수와 0과 1 사이의 실수가 대응된다면 실수와 정수는 같은 크기를 가집니다. 

 

 

4. 대각선 논법의 증명

0과 1사이의 실수는 0.145360340953... 같은 형태를 취합니다. 

보다 일반적인 형태는 0.a1b1c1d1e1.. 이라고 할 수 있겠습니다. 

 

그럼 각각의 실수에 번호를 붙여봅시다.

무한한 실수를 자연수에 대응시키는 과정입니다. 

정수 크기 =\= 실수 크기

 

자 그런데 여기서 문제가 발생합니다. 

첫번째 수의 첫번째 자리에 1을 더하고, 두번쨰 수의 두번째 자리에 1을 더하고.. 이런 식으로 새로운 실수를 만들었다고 생각해봅시다. 

이 실수는 자연수에 대응된 그 어떤 실수와도 같지 않습니다. 

N번째 수와 N번째 자리가 다르기 때문이죠. 

 

여기서 모순이 발생합니다. 

반대의 가정에서 모순이 발생하므로, 그 가정은 틀렸습니다. 

따라서 실수의 크기는 정수의 크기보다 크다는 결론이 나옵니다. 

 

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도움이 되었으면 좋겠습니다. 

주제 추천이나 질문은 댓글 남겨주세요. 

 

칸토어 수능특강 지문